Question

已知△ABC的頂點(diǎn)C在直線3x-y=0上，頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，2），（0，5）．
（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)A且在x，y軸上的截距相等的直線方程；
（Ⅱ）若△ABC的面積為10，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求直線方程,正弦定理

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）分點(diǎn)A且在x，y軸上的截距等于零和不等于零兩種情況，分別用點(diǎn)斜式求得所求直線的直線方程．
（Ⅱ）設(shè)C（x₀，3x₀），先求出AB所在的直線方程，再頂點(diǎn)C到直線AB的距離d，由S_△ABC=

1

2

|AB|•d=10，求得x₀的值，可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)所求直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，k=

1

2

，∴y=

1

2

x，即x-2y=0；
當(dāng)截距不為0時(shí)，k=-1，∴y-2=-（x-4），即x+y-6=0．
∴所求直線方程為x-2y=0或x+y-6=0．
（Ⅱ）由頂點(diǎn)C在直線3x-y=0上，可設(shè)C（x₀，3x₀），
可求直線AB的方程為3x+4y-20=0，
則頂點(diǎn)C到直線AB的距離d=

|3x0+4×3x0-20|

32+42

=|3x₀-4|，且|AB|=

42+(2-5)2

=5，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=10，即|3x₀-4|=4，∴x₀=0或x₀=

8

3

，
故頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）或（

8

3

，8）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求直線的方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．