Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+e^x-xe^x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞0，x＜0，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，即為當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_min＞m，由（1）即可求出最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+e^x-xe^x．
∴f（x）的定義域?yàn)镽，
f'（x）=x+e^x-（e^x+xe^x）=x（1-e^x），
當(dāng)x＜0時(shí)，1-e^x＞0，f'（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，1-e^x＜0，f'（x）＜0
∴f（x）在R上為減函數(shù)，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，
即為當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_min＞m．
由（1）可知，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=2-e²，
∴m＜2-e²時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間、求最值，考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．