精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB⊥BC,PC⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AB=BC,點(diǎn)E在棱PB上,且PD∥平面EAC.
(I)求證:PE=2EB;
(II)求二面角E-AD-C的大。
分析:(I)由已知中PD∥平面EAC,連接BD交AC于O,連接OE,由線面平行的性質(zhì)可得PD∥OE,結(jié)合已知中PC⊥AD,得AC⊥AD,令PA=AB=BC=1,我們可得CD=2,再由平行線分線段成比例定理,可得PE=2EB;
(II)過E作EF⊥AB于F,過F作FH⊥DH于H,由三垂線定理及二面角平面角的定義,可得∠EHF即為二面角E-AD-C的平面角,解三角形EHF即可得到二面角E-AD-C的大小.
解答:精英家教網(wǎng) 證明:(I)設(shè)PA=AB=BC=1,連接BD交AC于O,
∵PD∥平面EAC
由線面平行的性質(zhì)定理可得PD∥OE,
由PC⊥AD,得AC⊥AD,易求得CD=2,
∴PE:BE=OD:OB=CD:AB=2,
即PE=2EB.
解:(II)過E作EF⊥AB于F,過F作FH⊥DH于H.
則∠EHF即為二面角E-AD-C的平面角.
在RT△EHF,EF=
1
3
,F(xiàn)H
2
3
,
∴tan∠EHF=
2
2

∴二面角E-AD-C的大小arctan
2
2
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì),其中(I)的關(guān)鍵是利用線面平行的性質(zhì),得到PD∥OE,進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例定理,得到答案,(II)的關(guān)鍵是得到∠EHF即為二面角E-AD-C的平面角.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大。划(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點(diǎn)Q的軌跡方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案