Question

已知P、Q是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M是該橢圓上任意一點(diǎn)，且直線MP、MQ的斜率分別為k₁、k₂，若，則橢圓的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先設(shè)出P，M，N的坐標(biāo)，把它們代入橢圓方程，方程相減可分別表示出PM和PN的斜率，二者相乘等于同時把x₁=-x₂，y₁=-y₂代入解求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．
解答：設(shè)p（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把它們代入橢圓方程得
①，②.
②-①得PM的斜率k₁==，
同理PN的斜率k₂==，k₁•k₂==，
M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，x₁=-x₂，y₁=-y₂．
∴=，即a²=3b²，
∴c²=a²-b²=a²，
∴e==．
故選C
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．當(dāng)直線與橢圓相交時，涉及弦長中點(diǎn)時，或直線的斜率時都可采用點(diǎn)差法，設(shè)出點(diǎn)代入橢圓方程，然后相減，與直線的斜率和弦的中點(diǎn)相聯(lián)系．