Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），離心率e=

2

（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=30°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），離心率e=

2

，求出a，b，c，進(jìn)而可得方程；
（Ⅱ）由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2

2

，由余弦定理可得16=8+（2-

3

）|PF₁||PF₂|，解得|PF₁||PF₂|=8（2-

3

），代入面積公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)殡p曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），離心率e=

2

，
所以c=2，a=

2

，
所以b=

2

，
所以所求雙曲線方程為x²-y²=2；
（Ⅱ）由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2

2

，
由余弦定理可得16=8+（2-

3

）|PF₁||PF₂|，解得|PF₁||PF₂|=8（2-

3

）
∴S=

1

2

×8（2-

3

）×

1

2

=2（2-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．