Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，（其中常數(shù)a∈R）．
（1）若f（x）在x=1時取得極值，求a的值．
（2）若a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在x=1時取得極值，則f′（1）=0，根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式，代入即可構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）求出導函數(shù)的解析式，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵f′（1）=0，解得：a=1；
（2）a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$）遞減，在（$\sqrt{2}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．