設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明
a2
a+b
+
b2
b+c
+
c2
c+a
≥
1
2
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專(zhuān)題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：a+b+c=1，所以
a2
a+b
+
b2
b+c
+
c2
c+a
=
1
2
（
a2
a+b
+
b2
b+c
+
c2
c+a
）（a+b+b+c+c+a），利用基本不等式，即可證明結(jié)論．
解答： 證明：∵a+b+c=1，
∴
a2
a+b
+
b2
b+c
+
c2
c+a
=
1
2
（
a2
a+b
+
b2
b+c
+
c2
c+a
）（a+b+b+c+c+a）
=
1
2
[a2+b2+c2+
a2(b+c)
a+b
+
a2(c+a)
a+b
+
b2(a+b)
b+c
+
b2(c+a)
b+c
+
c2(a+b)
c+a
+
c2(b+c)
c+a
]
≥
1
2
（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）=
1
2
（a+b+c）2=
1
2
．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，掌握基本不等式的使用條件是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1，a2，a3為等比數(shù)列，a5=1，則a10=（　�。�
A、5B、-1C、0D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f（2x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線（　　）
A、x=-1．
B、x=1
C、x=-
1
2
D、x=
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)，凡在該超市購(gòu)物滿200元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅色球，1個(gè)黃魚(yú)球，1個(gè)藍(lán)色球和1個(gè)黑色球．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，直至摸到黑色球停止摸獎(jiǎng)．規(guī)定摸到紅色球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黃色球或藍(lán)色球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑色球無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)．
（Ⅰ）求一名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）記X為一名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x2+3（a2+a）lnx-8ax．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=32x-62平行，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物，我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米至75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，北方城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，發(fā)現(xiàn)空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有10天，超標(biāo)的有6天．
（1）從這20天的日均PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這20天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）根據(jù)這20天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義函數(shù)y=f（x），x∈D（D為定義域）圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，則稱(chēng)之為函數(shù)y=f（x），x∈D的長(zhǎng)距；若模存在最小值，則稱(chēng)之為函數(shù)y=f（x），x∈D的短距．
（1）分別判斷函數(shù)f1（x）=
1
x
與f2（x）=
-x2-4x+5
是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出；
（2）求證：指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的短距小于1；
（3）對(duì)于任意x∈[1，2]是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=
2x|x-a|
的短距不小于2且長(zhǎng)距不大于4．若存在，請(qǐng)求出a的取值范圍；不存在，則說(shuō)明理由？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c給出下列結(jié)論：
①若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
②若
sinA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
，則△ABC為等邊三角形；
③若a=40，b=20，B=25°，則△ABC必有兩解．
其中，結(jié)論正確的編號(hào)為
 
（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

現(xiàn)從某校高三年年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取n名同學(xué)測(cè)量身高，據(jù)測(cè)量，所有學(xué)生的身高均介于155至195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成8組；第一組；[155，160）；第二組[160，165）；…，第八組[190，195]．如圖是按上述分組得到的條形圖，其中第五組有15名同學(xué)．
（1）求n值和第七組所對(duì)應(yīng)的人數(shù)及頻率；
（2）在樣本中，若第二組有1人為男生，其余為女生．第七組中1人為女生，其余為男生．在第二組和第七組中各選1人組成小組，求組成的小組中恰好1男1女的概率．

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