Question

19．求函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的定義域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域，函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）是由y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）與μ（x）=x²-5x+4復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，即可求出函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：由μ（x）=x²-5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，
所以x∈（-∞，1）∪（4，+∞），
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）是由y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）與μ（x）=x²-5x+4復(fù)合而成，
函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，
函數(shù)μ（x）=x²-5x+4在（-∞，$\frac{5}{2}$）上為減函數(shù)，在[$\frac{5}{2}$，+∞]上為增函數(shù)．
考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，
y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）為減函數(shù)、μ（x）=x²-5x+4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（-∞，1）；
y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）為減函數(shù)、μ（x）=x²-5x+4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．