Question

11．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，$f（x）={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}-1$，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0，a≠1），恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，1）$
• B． （1，4）
• C． （4，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由已知中可以得到函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為4，將方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），
∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4．
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，$f（x）={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}-1$，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=f（6）=1，
則對(duì)于函數(shù)y=log_a（x+2），
由題意可得，當(dāng)x=6時(shí)的函數(shù)值小于1，
即log_a（6+2）＞1，log_a（2+2）＜1
由此解得：8＞a＞4，
∴a的范圍是（4，8）
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．