Question

2．如圖，在棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中點，且∠BCD=120°．
（Ⅰ）求證：PA⊥CD；
（Ⅱ）求直線PD與平面CDM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出三角形CDA為等邊三角形，取CD的中點O，連接AC，AO，PO，則AO⊥CD，PO⊥CD，從而CD⊥平面AOP，由此能證明CD⊥PA．
（Ⅱ）以O為原點，直線OD，OA，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，利用向量法能求出直線PD與平面CDM所成角大小的正弦值．

解答 （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因為底面ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
所以∠CDA=60°，
所以三角形CDA為等邊三角形．
取CD的中點O，連接AC，AO，PO，
則AO⊥CD，PO⊥CD，AO∩PO=O，
∴CD⊥平面AOP，∴CD⊥PA．…（4分）
解：（Ⅱ）平面PCD⊥平面ABCD，OP⊥OA，∴OP⊥平面ABCD，
以O為原點，直線OD，OA，OP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示，
則$P（0，0，\sqrt{3}），D（1，0，0），C（-1，0，0），B（-2，\sqrt{3}，0）$，$M（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
$\overrightarrow{PD}=（1，0-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CD}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{CM}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$…（6分）
設$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面CDM的法向量，則
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CM}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\end{array}\right.$，令y=1，則z=-1，∴$\overrightarrow n=（0，1，-1）$…（8分）
∴$cos＜\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PD}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（10分）
∴直線PD與平面CDM所成角大小的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．