Question

已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，其長軸長為4，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過點（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△F₂PQ的內切圓面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，其長軸長為4，焦距為2橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，其長軸長為4，焦距為2，求出幾何量，即可得到橢圓C的方程；
（2）由（1）知F₁（-1，0），則△F₂PQ的周長為4a=8，所以S△F2PQ=

1

2

•4a•r（r為三角形內切圓半徑），可得當△F₂PQ的面積最大時，其內切圓面積最大．

解答： 解：（1）∵橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，其長軸長為4，焦距為2，
∴a=2，c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1-----------------------（4分）
（2）由（1）知F₁（-1，0），過點F₁（-1，0）的直線與橢圓C交于P，Q兩點，則△F₂PQ的周長為4a=8，
∴S△F2PQ=

1

2

•4a•r（r為三角形內切圓半徑），
∴當△F₂PQ的面積最大時，其內切圓面積最大．-----------------------（5分）
設直線l方程為：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4+3k2)y2-6ky-9=0⇒

y1+y2= 6k 3k2+4 y1•y2=- 9 3k2+4

-----------------（7分）
∴S△F2PQ=

1

2

•|F1F2|•|y1-y2|=

12 k2+1

3k2+4

-------------------（9分）
令

k2+1

=t，則t≥1，所以S△F2PQ=

12

3t+ 1 t

，而3t+

1

t

在[1，+∞）上單調遞增，
∴S△F2PQ=

12

3t+ 1 t

≤3，當t=1時取等號，即當k=0時，△F₂PQ的面積最大值為3，
結合S△F2PQ=

1

2

•4a•r=3，得r的最大值為

3

4

，
∴S=πr2=

9

16

π-----------------（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，綜合性強．