Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

1

2

x，-sin

1

2

x），且x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=

a

•

b

-4m|

a

+

b

|+1的最小值為-

1

2

，求m的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：平面向量及應用

分析：（I）利用數(shù)量積運算及其性質(zhì)即可得出；
（II）利用（I）通過分類討論，利用換元法和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
|

a

|=

cos2 3x 2 +sin2 3x 2

=1，|

b

|=

cos2 x 2 +sin2 x 2

=1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2cos2x

=

4cos2x

=2cosx．
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-4m|

a

+

b

|+1=cos2x-8mcosx+1=2cos²x-8mcosx，
令cosx=t，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，f（x）=2t²-8mt，
（1）當2m≤0，即m≤0時，f_min（x）=0不符合題意．
（2）當0＜2m＜1，即0＜m＜

1

2

時，fmin(x)=-8m2，由-8m2=-

1

2

解得m=±

1

4

，
又0＜m＜

1

2

，∴m=

1

4

．
（3）當2m≥1，即m≥

1

2

時，f_min（x）=2-8m，由2-8m=-

1

2

，解得m=

5

16

，
又m＞

1

2

，∴m=

5

16

 不符合題意．
綜上可知：m的值為

1

4

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算及其性質(zhì)、分類討論、換元法和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題．