Question

13．已知函數(shù)f（x）=mx²-mx-1．
（1）若不等式mx²-mx-1＜0對m∈[1，2]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m無解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對于x∈[1，3]，存在x，使f（x）＜5-m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由不等式mx²-mx-1＜0對m∈[1，2]恒成立，可得x²-x-1＜0且2x²-4x-1＜0，即可求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m無解，m≥$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$對于x∈[1，3]恒成立，即可求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對于x∈[1，3]，存在x，使f（x）＜5-m成立，m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，存在x∈[1，3]成立，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵不等式mx²-mx-1＜0對m∈[1，2]恒成立，
∴x²-x-1＜0且2x²-4x-1＜0，
∴1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
（2）f（x）＜-m+5?m（x²-x+1）＜6，
∵x²-x+1＞0，∴m≥$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$對于x∈[1，3]恒成立，
記g（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，x∈[1，3]，
記h（x）=x²-x+1，h（x）在x∈[1，3]上為增函數(shù)．則g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
∴[g（x）]_max=g（1）=6，∴m≥6   
∴m的取值范圍為[6，+∞）．
（3）f（x）＜-m+5?m（x²-x+1）＜6，
∵x²-x+1＞0，∴m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，存在x∈[1，3]成立，
記g（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，x∈[1，3]，
記h（x）=x²-x+1，h（x）在x∈[1，3]上為增函數(shù)．則g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
∴[g（x）]_min=g（3）=$\frac{6}{7}$，∴m＜$\frac{6}{7}$
∴m的取值范圍為（-∞，$\frac{6}{7}$）．

點評 含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單．