Question

（2012•泰安一模）已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意a∈（-3，-2）及x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx，對f（x）進行求導(dǎo)，求出x=1處的斜率，再根據(jù)點斜式求出切線的方程；
（II）對f（x）進行求導(dǎo)，令f′（x）=0，并求出其極值點，從而求出其單調(diào)區(qū)間；
（III）由題意可知，對?a∈（-3，-2），x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立等價于ma-1＜f（x）_min，從而求出m的取值范圍；

解答：解：（I）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx
∴f′（x）=2x-5+

2

x

∴f′（1）=-1，f（1）=-4，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+3=0
（II）∵f′（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

令f′（x）=0，可得x1=

1

2

，x₂=a
①當(dāng)a＞

1

2

時，由f′（x）＞0可得，
f（x）在（0，

1

2

），（a，+∞）上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0可得：
f（x）在（

1

2

，a）上單調(diào)遞減，
②當(dāng)a=

1

2

時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)0＜a＜

1

2

時，由f′（x）＞0可得
f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，可得f（x）在（a，

1

2

）上單調(diào)遞減
④當(dāng)a≤0時，由f′（x）＞0，可得，
f（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0可得f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減．
（III）由題意可知，對?a∈（-3，-2），x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立
等價于ma-1＜f（x）_min，
由（II）知，當(dāng)a∈（-3，-2）時，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（1）=-2a，
∴原題等價于對?a∈（-3，-2）時，ma-1＜-2a恒成立，
即m＞

1-2a

a

=

1

a

-2，在a∈（-3，-2）時，有-

5

2

＜

1

a

-2＜-

7

3

故當(dāng)m≥-

7

3

時，ma-1＜-2a恒成立，
∴m≥-

7

3

．

點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究某點的切線方程，關(guān)于恒成立的問題，一般都要求函數(shù)的最值，此題是一道中檔題．