Question

18．求證：函數(shù)y=log_0.5（3x-2）在定義域上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析 先求出該函數(shù)的定義域：（$\frac{2}{3}，+∞$），根據(jù)減函數(shù)的定義，可設(shè)任意的${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{2}{3}$，作差并進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算，便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=lo{g}_{0.5}\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}$，這時(shí)可以說明$\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}＞1$，從而便可得出y₁＜y₂，這樣便證出了原函數(shù)在定義域上為減函數(shù)．

解答 證明：該函數(shù)定義域?yàn)椋?\frac{2}{3}$，+∞）；
設(shè)${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{2}{3}$，則：
y₁-y₂=log_0.5（3x₁-2）-log_0.5（3x₂-2）=$lo{g}_{0.5}\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{2}{3}$；
∴3x₁-2＞0，3x₂-2＞0，3x₁-2＞3x₂-2；
∴$\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}＞1$；
∴$lo{g}_{0.5}\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}＜0$；
∴y₁＜y₂；
∴該函數(shù)在定義域上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及作差比較y₁與y₂的方法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．