Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，當t∈（-2，2）時，f（t²-2t）+（2t²-k）＜0恒成立，則k的取值范圍是k＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，可得f（x）在R上單調(diào)遞減，且函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0當t∈（-2，2）時恒成立，等價于t²-2t＞k-2t²當t∈（-2，2）時恒成立，進而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）為奇函數(shù)，f（x）在R上單調(diào)遞減，
由f（x）為奇函數(shù)得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
由f（x）單調(diào)遞減得，t²-2t＞k-2t²，
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0當t∈（-2，2）時恒成立，等價于t²-2t＞k-2t²當t∈（-2，2）時恒成立，
即3t²-2t-k＞0，當t∈（-2，2）時恒成立，
∴有k＜3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
∵t∈（-2，2），∴3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{1}{3}$，16）
∴k＜-$\frac{1}{3}$．
故答案為：k＜-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．