Question

6．設(shè)f（n）=sin$\frac{n}{6}$π+tan$\frac{n}{4}$π，n∈{正奇數(shù)}．
（1）求f（3）；
（2）設(shè)存在正數(shù)T，使f（n+T）=f（n），求T的最小值；
（3）求f（1）+f（3）+…+f（2015）

Answer 1

分析 （1）由已知中f（n）=sin$\frac{n}{6}$π+tan$\frac{n}{4}$π，n∈{正奇數(shù)}．將n=3代入可得f（3）的值；
（2）根據(jù)y=sin$\frac{n}{6}$π的周期為12，y=tan$\frac{n}{4}$π的周期為4，求出兩個周期的最小公倍數(shù)，可得T值；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，可得同一周期內(nèi)f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）=0，進而利用分組求和法，可得答案．

解答 解：（1）∵f（n）=sin$\frac{n}{6}$π+tan$\frac{n}{4}$π，n∈{正奇數(shù)}．
∴f（3）=sin$\frac{3}{6}$π+tan$\frac{3}{4}$π=1-1=0，
（2）由y=sin$\frac{n}{6}$π的周期為12，y=tan$\frac{n}{4}$π的周期為4，
故存在正數(shù)T=12，使f（n+T）=f（n），正數(shù)T的最小值為12．
（3）由（2）中f（n）的周期為12，
則f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）=0，
2015=167×12+11，
故f（1）+f（3）+…+f（2015）=168[f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）]-f（2017）=-f（2017）=-f（11），
由f（11）=sin$\frac{11}{6}$π+tan$\frac{11}{4}$π=-$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{2}$得：
f（1）+f（3）+…+f（2015）=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)求值，是三角函數(shù)與函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用，難度中檔．