Question

設a為正實數(shù)，記函數(shù)f（x）=a

1-x2

-

1+x

-

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設t=

1+x

+

1-x

，試把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）；
（3）問是否存在大于

2

的正實數(shù)a滿足g（a）=g（

1

a

）？若存在，求出所有滿足條件的a值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)最值的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由t=

1+x

+

1-x

平方得

1-x2

=

1

2

t²-1，從而將函數(shù)f（x）換元為m（t），而m（t）的定義域即t=

1+x

+

1-x

的值域，平方后求其值域即可；
（2）由（1）知，通過討論對稱軸的位置可得最大值關(guān)于a的函數(shù)g（a）；
（3）假設存在大于

2

的正實數(shù)a滿足g（a）=g（

1

a

），分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

，∴-1≤x≤1，∴函數(shù)f（x）的定義域為[-1，1]．
t=

1+x

+

1-x

，由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，所以t的取值范圍是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t²-1，∴m（t）=

1

2

at²-t-a，t∈[

2

，2]；
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=

1

2

at²-t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直線t=

1

a

是拋物線m（t）=

1

2

at²-t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論：
①

1

a

≤

2

，即a≥

2

2

知m（t）=

1

2

at²-t-a在[

2

，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=m（2）=a-2．
②當

2

＜

1

a

＜2時，

1

2

＜a＜

2

2

，g（a）=m（

1

a

）=-

1

2a

-a．
③當

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時，g（a）=m（

2

）=-

2

∴g（a）=

a-2，a≥ 2 2 - 1 2a -a， 1 2 ＜a＜ 2 2 - 2 ，0＜a≤ 1 2

；
（3）由（2）可得g（

1

a

）=

1 a -2，0＜a≤ 2 - a 2 - 1 a ， 2 ＜a＜2 - 2 ，0＜a≤ 1 2

．
假設存在大于

2

的正實數(shù)a滿足g（a）=g（

1

a

），則

2

＜a＜2時，a-2=-

a

2

-

1

a

，方程無解；
a≥2時，a-2=-

2

，a=2-

2

＜2，不符合．
綜上所述，不存在大于

2

的正實數(shù)a滿足g（a）=g（

1

a

）．

點評：本題考查了求函數(shù)定義域的方法以及利用換元法求函數(shù)值域的方法，解題時要注意換元后函數(shù)的定義域的變化．