已知向量
a
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，
b
=（-
3
，1），f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的最大值和最小值．
分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈[0，π]，可得
x
2
-
π
3
∈[-
π
3
，
π
6
]，從而可得sin（
x
2
-
π
3
）∈[-
3
2
，
1
2
]，即可求f（x）在[0，π]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵向量
a
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，
b
=（-
3
，1），
∴f(x)=
a
•
b
=-
3
cos
x
2
+sin
x
2
=2sin（
x
2
-
π
3
），
∴f（x）的最小正周期為
2π
1
2
=4π．
由
x
2
-
π
3
∈[
π
2
+2kπ，
3π
2
+2kπ]，
可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[
5π
3
+4kπ，
11π
3
+4kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[0，π]，
∴
x
2
-
π
3
∈[-
π
3
，
π
6
]，
∴sin（
x
2
-
π
3
）∈[-
3
2
，
1
2
]，
∴2sin（
x
2
-
π
3
）∈[-
3
，1]，
∴f（x）在[0，π]上的最大值為1，最小值為-
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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