精英家教網(wǎng)已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點(diǎn),曲線C是以AB為長(zhǎng)軸,離心率為
2
2
的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連接PF,過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓O相切;
(3)試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=
2
,e=
2
2
,所以c=1,由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)因?yàn)镻(1,1),所以kPF=
1
2
,所以kOQ=-2,所以直線OQ的方程為y=-2x.再由橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2,能夠證明直線PQ與圓O相切.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線PQ與圓O保持相切.設(shè)P(x0,y0)(x0≠±
2
),則y02=2-x02
所以kPF=
y0
x0+1
,kOQ=-
x0+1
y0
,所以直線OQ的方程為y=-
x0+1
y0
x
,由此知直線PQ始終與圓O相切.
解答:解:(1)因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=
2
,e=
2
2
,所以c=1(2分)
則b=1,即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1
(4分)
(2)因?yàn)镻(1,1),所以kPF=
1
2
,
所以kOQ=-2,所以直線OQ的方程為y=-2x(6分)
又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2,所以點(diǎn)Q(-2,4)(7分)
所以kPQ=-1,又kOP=1,所以kOP⊥kPQ=-1,即OP⊥PQ,
故直線PQ與圓O相切(9分)
(3)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線PQ與圓O保持相切(10分)
證明:設(shè)P(x0,y0)(x0≠±
2
),則y02=2-x02,
所以kPF=
y0
x0+1
,kOQ=-
x0+1
y0

所以直線OQ的方程為y=-
x0+1
y0
x
(12分)
所以點(diǎn)Q(-2,
2x0+2
y0
)(13分)
所以kPQ=
y0-
2x0+2
y0
x0+2
=
y02-(2x0+2)
(x0+2)y0
=
-x02-2x0
(x0+2)y0
=-
x0
y0
,
kOP=
y0
x0
,
所以kOP⊥kPQ=-1,即OP⊥PQ,故直線PQ始終與圓O相切(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意公式的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)已知圓o:x2+y2=b2與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
有一個(gè)公共點(diǎn)A(0,1),F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線AF被圓所截得的弦長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓方程.
(2)圓o與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D,B( x0,y0)是橢圓上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在線段CD上是否存在點(diǎn)T(t,0),使|BT|=|AT|,若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知圓O:x2+y2=9,定點(diǎn) A(6,0),直線l:3x-4y-25=0
(1)若P為圓O上動(dòng)點(diǎn),求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程
(2)設(shè)E、F分別是圓O和直線l上任意一點(diǎn),求線段EF的最小值.

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(2012•廣州一模)已知圓O:x2+y2=r2,點(diǎn)P(a,b)(ab≠0)是圓O內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的圓O的最短弦所在的直線為l1,直線l2的方程為ax+by+r2=0,那么( 。

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已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P在直線x=
3
上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若圓O上存在點(diǎn)Q,使∠OPQ=30°,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是( 。

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