Question

10．對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)f（x），記f（I）={y|y=f（x），x∈I}，已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，3]，自變量x與因變量y一一對(duì)應(yīng)，且f（[1，2]）=[0，1），f（[0，1]）=[2，4），若方程f（x）-x=0有解x₀，則x₀=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)定義域、值域互換可判斷：當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，x∈[1，2）時(shí)f（x）的值域，進(jìn)而可判斷此時(shí)f（x）=x無解；由f（x）在定義域[0，3]上存在反函數(shù)可知：x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值集合，再根據(jù)方程f（x）=x有解即可得到x₀的值．

解答 解：因?yàn)間（I）={y|y=g（x），x∈I}，f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（2，4]）=[0，1），
所以對(duì)于函數(shù)f（x），
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
所以當(dāng)x∈[0，2）時(shí)方程f（x）-x=0即f（x）=x無解，
又因?yàn)榉匠蘤（x）-x=0有解x₀，且定義域?yàn)閇0，3]，
故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及反函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．