Question

（文） 已知矩形ABB₁A₁是圓柱體的軸截面，O、O₁分別是下底面圓和上底面圓的圓心，母線長與底面圓的直徑長之比為2：1，且該圓柱體的體積為32π，如圖所示．
（1）求圓柱體的側面積S_側的值；
（2）若C₁是半圓弧A₁B₁的中點，點C在半徑OA上，且OC=

1

2

OA，異面直線CC₁與BB₁所成的角為θ，求sinθ的值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用圓柱體的體積為32π，求出R，即可求圓柱體的側面積S_側的值；
（2）設D是線段A₁O₁的中點，聯(lián)結D₁C，DC，O₁C₁，則C₁O₁⊥A₁B₁，CO∥BB₁，因此，∠C₁CD就是異面直線CC₁與BB₁所成的角，求出DC₁=

5

，CC₁=

69

，即可求sinθ的值．

解答： 解：（1）設圓柱的底面圓的半徑為R，依據題意，有AA₁=2AB=4R，
∴πR²•AA₁=32π，
∴R=2．
∴S_側=2πR•AA₁=32π．
（2）設D是線段A₁O₁的中點，聯(lián)結D₁C，DC，O₁C₁，則C₁O₁⊥A₁B₁，CO∥BB₁．
因此，∠C₁CD就是異面直線CC₁與BB₁所成的角，即∠C₁CD=θ．
又R=2，∠C₁CD=，∠C₁O₁D=90°，
∴DC₁=

5

，CC₁=

69

．
∴sinθ=

5

69

=

345

69

．

點評：本題考查圓柱體的側面積，考查異面直線所成的角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．