Question

12．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項和S_n=3^n-1+k（n∈N^*），則常數(shù)k=$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 S_n=3^n-1+k（n∈N^*），n=1時，可得：a₁=S₁=1+k．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，利用數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即可得出．

解答 解：S_n=3^n-1+k（n∈N^*），
n=1時，a₁=S₁=1+k．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1+k-（3^n-2+k）=2×3^n-2，
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴上式對于n=1時也成立，∴1+k=2×3^-1，
解得k=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．