Question

過點P（1，2）的直線l與x軸和y軸的交點分別為A（a，0）；B（0，b）（其中a＞0，b＞0），分別求滿足下列條件的直線l的方程．
（1）a=b；             
（2）三角形AOB的面積最�。�

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)a=b時可設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

a

=1，代點可得a值，可得方程；             
（2）由題意易得

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式可得ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

2

b

即a=2且b=4時取等號，由此可得直線方程．

解答： 解：（1）當(dāng)a=b時可設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

a

=1，
代入點P（1，2）可得

3

a

=1，解得a=3，
∴直線l的方程為x+y-3=0；             
（2）由題意可得直線的方程為：

x

a

+

y

b

=1，
由直線過點P（1，2）可得

1

a

+

2

b

=1，
∵a＞0，b＞0，∴1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

，
∴

ab

≥2

2

，∴ab≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

2

b

即a=2且b=4時取等號，
∴三角形AOB的面積S=

1

2

ab≥4，
∴當(dāng)三角形AOB的面積取最小值4時，
直線方程為

x

2

+

y

4

=1即2x+y-4=0．

點評：本題考查直線的一般式方程，涉及截距式方程和基本不等式，屬基礎(chǔ)題．