Question

如圖所示，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB和AA₁的中點(diǎn).

求證：（1）E，C，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；

（2）CE，D₁F，DA三線共點(diǎn).

Answer 1

證明略

解析:

（1）如圖所示，連接CD₁，EF，A₁B，

∵E、F分別是AB和AA₁的中點(diǎn)，

∴EF∥A₁B且EF=A₁B，

又∵A₁D₁    BC,

∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，∴A₁B∥CD₁，∴EF∥CD₁，

∴EF與CD₁確定一個(gè)平面，

∴E，F(xiàn)，C，D₁∈，

即E，C，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面.

（2）由（1）知EF∥CD₁，且EF=CD₁，

∴四邊形CD₁FE是梯形，

∴CE與D₁F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，

則P∈CE平面ABCD，

且P∈D₁F平面A₁ADD₁，

∴P∈平面ABCD且P∈平面A₁ADD₁.

又平面ABCD∩平面A₁ADD₁=AD，

∴P∈AD，∴CE，D₁F，DA三線共點(diǎn).