設(shè)函數(shù)f（x）=x3+4x
（1）用定義證明f（x）在R上為奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．
分析：（1）先看f（x）的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看f（-x）與f（x）是相等還是互為相反數(shù)．
（2）先判斷后證明，證明時(shí)先在給定的區(qū)間上任取兩變量，界定大小，然后作差變形看符號．
解答：解：（1）由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．（2分）
因?yàn)閒（-x）=（-x）3+4（-x）=-x3-4x=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)（6分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)（7分）
證明：任意取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2f（x1）-f（x2）=（x13-x23）+4（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+4）
=(x1-x2)[(x1+
x2
2
)2+
3
x
2
2
4
+4]（11分）
因?yàn)閤1＜x2所以x1-x2＜0
因?yàn)?span id="q2kym6k" class="MathJye">(x1+
x2
2
)2+
3
x
2
2
4
+4＞0顯然成立
所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．
（1）若x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(
12
，1)內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+5（a＞0）
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x-1．求：
（Ⅰ）函數(shù)在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3•cosx+1，若f（a）=5，則f（-a）=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案