(2012•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=-
12
x2+2x-aex

(Ⅰ)若a=1,求f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)把a=1代入函數(shù)解析式,求出f(1)及f(1),利用直線方程的點斜式求出切線方程;
(Ⅱ)由函數(shù)若f(x)在R上是增函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)在(-∞,+∞)大于等于0恒成立,把參數(shù)a分離后利用導(dǎo)數(shù)求不等式一邊的最值,則a的范圍可求.
解答:解:(Ⅰ)由a=1,則f(x)=-
1
2
x2+2x-ex
,
f(1)=
3
2
-e
,
所以f'(x)=-x+2-ex
則f'(1)=1-e,
所以所求切線方程為y-(
3
2
-e)=(1-e)(x-1)
,即2(1-e)x-2y+1=0.
(Ⅱ)由已知f(x)=-
1
2
x2+2x-aex
,得f'(x)=-x+2-aex
因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),
所以f'(x)≥0在實數(shù)集上恒成立,即不等式-x+2-aex≥0恒成立.
整理得a≤
-x+2
ex

g(x)=
-x+2
ex
,g′(x)=
x-3
ex

因為ex>0,
所以x,g'(x),g(x)的變化情況如下表:
x (-∞,3) 3 (3,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) 極小值
由此表看出當x=3時函數(shù)g(x)有極小值,也就是最小值.
所以a≤g(3)=-e-3,即a的取值范圍是(-∞,-e-3].
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍,是中檔題.
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F(n,2)
F(2,n)
(n∈N+),若對任意正整數(shù)n,都有an≥ak(k∈N*成立,則ak的值為( 。

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(2012•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=x
1
2
,給出下列命題:
①若x>1,則f(x)>1;
②若0<x1<x2,則f(x2)-f(x1)>x2-x1;
③若0<x1<x2,則x2f(x1)<x1f(x2);
④若0<x1<x2,則
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
)

其中,所有正確命題的序號是
①④
①④

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(2012•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=(a+
1
a
)lnx+
1
x
-x(a>1).
(l)試討論f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性;
(2)當a∈[3,+∞)時,曲線y=f(x)上總存在相異兩點P(x1,f(x1)),Q(x2,f (x2 )),使得曲線y=f(x)在點P,Q處的切線互相平行,求證:x1+x2
6
5

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