Question

已知α∈(0，

π

2

)，tanα=

1

2

，求
（1）tan2α
（2）sin(2α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡所求的式子，把tanα的值代入即可求出值；
（2）由α的范圍及tanα的值，得到2α的范圍，利用萬能公式用tanα表示出sin2α和cos2α，把tanα的值代入求出sin2α和cos2α的值，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡所求的式子，把sin2α和cos2α的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵tanα=

1

2

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

；
（2）由tanα=

1

2

＜1，得到α∈(0，

π

4

)，
∴2α∈（0，

π

2

），
∴sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

2× 1 2

1+ 1 4

=

4

5

，cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

，
則sin(2α+

π

3

)=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．

點評：此題考查了二倍角的正切函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及萬能公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．同時注意萬能公式適用的條件是2α≠2kπ+π（k∈Z）．