Question

某電視臺(tái)舉辦猜歌曲的娛樂節(jié)目：隨機(jī)播放歌曲片段，選手猜出歌曲名稱可以贏取獎(jiǎng)金．曲庫中歌曲足夠多，不重復(fù)抽取．比賽共分7關(guān)：前4關(guān)播放常見歌曲；第5，6關(guān)播放常見或罕見歌曲，曲庫中常見歌曲與罕見歌曲數(shù)量比為1：4；第7關(guān)播放罕見歌曲．通過關(guān)卡與對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金如右表所示．選手在通過每一關(guān)（最后一關(guān)除外）之后可以自主決定退出比賽或繼續(xù)闖關(guān)；若退出比賽，則可獲得已經(jīng)通過關(guān)卡對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)金之和；若繼續(xù)闖關(guān)但闖關(guān)失敗，則不獲得任何獎(jiǎng)金．

關(guān)卡	關(guān)卡獎(jiǎng)金/元	累計(jì)獎(jiǎng)金/元
1	1000	1000
2	2000	3000
3	3000	6000
4	4000	10000
5	8000	18000
6	12000	30000
7	20000	50000

（Ⅰ）選手甲準(zhǔn)備參賽，在家進(jìn)行自我測(cè)試：50首常見歌曲，甲能猜對(duì)40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對(duì)2首，以他猜對(duì)常見歌曲與罕見歌曲的頻率最為概率．
①若比賽中，甲已順利通過前5關(guān)，求他闖過第6關(guān)的概率是多少？
②在比賽前，甲計(jì)劃若能通過第1，2，3關(guān)的任意一關(guān)，則繼續(xù)；若能通過第4關(guān)，則退出，求這種情況下甲獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)選手乙猜對(duì)罕見歌曲的概率為p，且他已經(jīng)順利通過前6關(guān)，當(dāng)p滿足什么條件時(shí)，他選擇繼續(xù)闖第7關(guān)更有利？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）①根據(jù)甲已順利通過前5關(guān)，結(jié)合50首常見歌曲，甲能猜對(duì)40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對(duì)2首，即可求他闖過第6關(guān)的概率；
②設(shè)甲獲得獎(jiǎng)金為X元，求出P（X=0）=1-(

4

5

)4，P（X=10000）=(

4

5

)4，即可求這種情況下甲獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求出他已經(jīng)順利通過前6關(guān)，可獲獎(jiǎng)金30000元，選擇繼續(xù)闖第7關(guān)，可獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望，建立不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）①比賽中，甲已順利通過前5關(guān)，他闖過第6關(guān)的概率是

1

5

•

40

50

+

4

5

•

2

40

=

1

5

；
②設(shè)甲獲得獎(jiǎng)金為X元，則P（X=0）=1-(

4

5

)4，P（X=10000）=(

4

5

)4，
∴EX=0×[1-(

4

5

)4]+10000×(

4

5

)4=4096；
（Ⅱ）他已經(jīng)順利通過前6關(guān)，可獲獎(jiǎng)金30000元，
設(shè)他選擇繼續(xù)闖第7關(guān)，可獲獎(jiǎng)金Y元，則P（Y=0）=1-p，P（Y=50000）=p，
∴EY=50000p，
令50000p＞30000，則p＞

3

5

，
即p＞

3

5

時(shí)，選擇繼續(xù)闖第7關(guān)更有利．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的理解題意的能力，考查了離散型隨機(jī)變量的定義與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．