Question

已知兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）若直線上存在點(diǎn)P，使得|PO|²=|PM|•|PN|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該直線為“A型直線”．給出
下列直線，其中是“A型直線”的是（　　）
①y=x+1   
②x=

1

2

③y=-x+3
④y=-2x+3．

A．①④

B．①③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），根據(jù)|PO|²=|PM|•|PN|和兩點(diǎn)的距離公式算出x²-y²=1，從而得到點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線．由此，再判斷①②③④中的直線與雙曲線x²-y²=1是否有交點(diǎn)，即可得到“A型直線”的條數(shù)，得到本題的答案．

解答：解：設(shè)P（x，y），可得|PO|²=x²+y²，
|PM|=

(x+1)2+y2

，|PN|=

(x-1)2+y2

∵|PO|²=|PM|•|PN|，
∴x²+y²=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

，
化簡(jiǎn)整理，得x²-y²=1
∴點(diǎn)P的軌跡是x²-y²=1，是焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線
對(duì)于①，因?yàn)橹本�y=x+1與雙曲線x²-y²=1的漸近線y=x平行，
所以直線y=x+1與雙曲線x²-y²=1必定有一個(gè)交點(diǎn)，
即存在點(diǎn)P，使得y=x+1是“A型直線”；
對(duì)于②，因?yàn)橹本�x=

1

2

過(guò)雙曲線虛軸上一點(diǎn)與軸虛垂直，所以直線x=

1

2

與雙曲線x²-y²=1沒(méi)有交點(diǎn)
故不存在點(diǎn)P，使得x=

1

2

是“A型直線”；
對(duì)于③，因?yàn)橹本�y=-x+3與雙曲線x²-y²=1的漸近線y=-x平行，所以直線y=-x+3與雙曲線x²-y²=1必定有一個(gè)交點(diǎn)，
即存在點(diǎn)P，使得y=-x+3是“A型直線”；
對(duì)于④，因?yàn)橹本�y=-2x+3經(jīng)過(guò)x軸上點(diǎn)（

3

2

，0），該點(diǎn)在雙曲線x²-y²=1的張口以內(nèi)
所以直線y=-2x+3與雙曲線x²-y²=1必定有一個(gè)交點(diǎn)，即存在點(diǎn)P，使得y=-x+3是“A型直線”
綜上所述，滿足是“A型直線”的有①③④，共3個(gè)
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，叫我們尋找“A型直線”的條數(shù)．著重考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法、雙曲線的幾何性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．