如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長是2，側棱長為4，M，N分別在AA1和CC1上，A1M=CN=1，P是BC中點．
（1）求四面體A1-PMN的體積；
（2）證明A1B∥平面PMN．
考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）由VA1-PMN=VP-A1MN，利用等積法能求出四面體A1-PMN的體積．
（2）取CC1的中點R，由已知條件推導出四邊形A1RNM是平行四邊形，由此能證明平面A1RB∥平面PMN，從而得到A1B∥平面PMN．
解答： （1）解：取AC的中點O，由已知得BO⊥A1MN，且BO=
3
，
∵P是BC中點，∴P到平面A1MN的距離d=
1
2
BO=
3
2
，
又S△A1MN=
1
2
×1×2=1，
∴VA1-PMN=VP-A1MN=
1
3
S△A1MN×d=
1
3
×1×
3
2
=
3
6
．
（2）證明：取CC1的中點R，
∵P是BC的中點，N是RC的中點，∴PN∥BR，
又A1M∥RN，A1M=RN，
∴四邊形A1RNM是平行四邊形，
從而A1R∥MN，
又A1R∩BR=R，∴平面A1RB∥平面PMN，
又A1B?平面A1RB，∴A1B∥平面PMN．
點評：本題考查四面體體積的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

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A={1，2}，集合B={2，3}，則 A∪B=（　�。�
A、{1，2，2，3}
B、{2}
C、{1，2，3}
D、{1，3}

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若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M是這段圖象的最高點，則φ=（　�。�
A、
π
3
B、
π
4
C、
π
6
D、
π
8

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（Ⅰ）求證：AB∥EF；
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定義：eiθ=cosθ+isinθ，其中i是虛數(shù)單位，θ∈R，且實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對eiθ都適應．若x=C
 
0
3
cos3
π
12
-C
 
2
3
cos
π
12
sin2
π
12
，y=C
 
1
3
cos2
π
12
sin
π
12
-C
 
3
3
sin3
π
12
，則x+yi=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈（0，2）直線l1：ax-2y-2a+4=0與直線l2：2x+a2y-2a2-4=0與坐標軸圍成一個四邊形，求此四邊形面積的最小值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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設函數(shù)f（x）=x2-2x．
（I）證明：對任意x∈R，f（x）＞2x-6恒成立；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤|x-1|+|x-2|．

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