Question

如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線G：x=a²上的射影依次為點D，K，E，
（1）已知拋物線的焦點為橢圓C的上頂點．
①求橢圓C的方程；
②若直線L交y軸于點M，且，當(dāng)m變化時，求λ₁+λ₂的值；
（2）連接AE，BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標(biāo)并給予證明；否則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件知c=1，a²=b²+c²=4，橢圓C的方程為，再由l與y軸交于M，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知（3m²+4）y²+6my-9=0，△=144（m²+1）＞0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系能求出λ₁+λ₂的值；
（2）由F（1，0），k=（a²，0），先探索m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且，再猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點．然后結(jié)合題設(shè)條猜想進(jìn)行證明．
解答：解：（1）易知，∴b²=3，又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4
∴橢圓C的方程為（3分）
∵l與y軸交于M
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由
∴（3m²+4）y²+6my-9=0，△=144（m²+1）＞0∴（5分）
又由，∴
∴同理
∴（8分）

（3）∵F（1，0），k=（a²，0），
先探索，當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且
猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點（9分）
證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（a²，y₂），D（a²，y₁）
當(dāng)m變化時首先AE過定點N
∵，即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0
又△=4a²b²（a²+m²b²-1）＞0（a＞1）
又K_AN=，
而K_AN-K_EN=
=
∴K_AN=K_EN，∴A、N、E三點共線，
同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點（13分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行猜想．