Question

國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督總局對(duì)某工廠生產(chǎn)的六年、九年、十二年三種被懷疑有問(wèn)題的白酒進(jìn)行甲醇和塑化劑含量檢測(cè)，測(cè)試過(guò)程相互獨(dú)立，其中通過(guò)甲醇含量檢測(cè)的概率分別為

1

3

，

1

3

，

1

2

，通過(guò)塑化劑含量檢測(cè)的概率分別為

3

5

，

1

3

，

1

3

，兩項(xiàng)檢測(cè)均通過(guò)的白酒則認(rèn)為其達(dá)標(biāo)．
（1）求三種白酒僅有一種達(dá)標(biāo)的概率；
（2）檢測(cè)后不達(dá)標(biāo)的白酒將停產(chǎn)整改，求停產(chǎn)整改的白酒種數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分別記六年、九年、十二年白酒通過(guò)甲醇含量檢測(cè)的為事件A_i，i=1，2，3，通過(guò)塑化劑檢測(cè)的為事件B_i，i=1，2，3，則六年白酒達(dá)標(biāo)的概率p₁=

1

3

×

3

5

=

1

5

，九年白酒達(dá)標(biāo)的概率p₂=

1

3

×

1

3

=

1

9

，十二年白酒達(dá)標(biāo)的概率p₃=

1

2

×

1

3

=

1

6

，由此能求出三種白酒僅有一種達(dá)標(biāo)的概率．
（2）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)在概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）分別記六年、九年、十二年白酒通過(guò)甲醇含量檢測(cè)的為事件A_i，i=1，2，3，
通過(guò)塑化劑檢測(cè)的為事件B_i，i=1，2，3，
則六年白酒達(dá)標(biāo)的概率p₁=

1

3

×

3

5

=

1

5

，九年白酒達(dá)標(biāo)的概率p₂=

1

3

×

1

3

=

1

9

，
十二年白酒達(dá)標(biāo)的概率p₃=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
設(shè)E表示檢測(cè)后僅有一種達(dá)標(biāo)的事件，
則P（E）=p₁（1-p₂）（1-p₃）+（1-p₁）p₂（1-p₃）+（1-p₁）（1-p₂）p₃
=

1

5

×

8

9

×

5

6

+

4

5

×

1

9

×

5

6

+

4

5

×

8

9

×

1

6

=

46

135

．
（2）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=p₁p₂p₃=

1

5

×

1

9

×

1

6

=

1

270

，
P（X=1）=p₁p₂（1-p₃）+p₁（1-p₂）p₃+（1-p₁）p₂p₃
=

1

5

×

1

9

×

5

6

+

1

5

×

8

9

×

1

6

+

4

5

×

1

9

×

1

6

=

17

270

，
P（X=2）=p₁（1-p₂）（1-p₃）+（1-p₁）p₂（1-p₃）+（1-p₁）（1-p₂）p₃
=

1

5

×

8

9

×

5

6

+

4

5

×

1

9

×

5

6

+

4

5

×

8

9

×

1

6

=

46

135

，
P（X=3）=（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）=

4

5

×

8

9

×

5

6

=

16

27

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 270	17 270	46 135	16 27

∴E（X）=0×

1

270

+1×

17

270

+2×

46

135

+3×

16

27

=

277

90

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．