Question

甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50千米，兩廠要在此岸邊AD之間合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，若CD=x千米，設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，如圖所示，
（Ⅰ）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先確定AC與BC的長(zhǎng)，在根據(jù)水管費(fèi)用即可建立總的水管費(fèi)用函數(shù)解析式；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值，即可確定供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省．

解答： 解：（Ⅰ）∵CD=x，BD=40，AC=50-x，
∴BC=

BD2+CD2

=

x2+402

又總的水管費(fèi)用為y元，
依題意有：y=3a（50-x）+5a

x2+402

（0＜x＜50）
（Ⅱ）由（1）得y′=-3a+

5ax

x2+402

，
令y′=0，解得x=30  
y在（0，30）單調(diào)遞減，在（30，50）單調(diào)遞增上，
函數(shù)在x=30（km）處取得最小值，此時(shí)AC=50-x=20（km）
∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在生活中優(yōu)化問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題．