Question

3．已知函數(shù)g（x）=alnx+x²-（a+2）x．
（1）當a=1時，求函數(shù)g（x）的極值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=f（x）在點P（m，f（m））處的切線方程為l：y=h（x），當x≠m，若$\frac{f（x）-h（x）}{x-m}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=f（x）的“界點”．當a=8時，問函數(shù)y=g（x）是否存在“界點”？若存在，求出“界點”的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)f（x）=g（x）-h（x），利用導(dǎo)數(shù)和界點的定義，分類討論即可求出．

解答 解：（1）當a=1時，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
當g′（x）＞0時，即0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當g′（x）＜0時，即$\frac{1}{2}$＜x＜1時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）有極大值，即g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，
當x=1時，函數(shù)g（x）有極小值，即g（1）=-2；
（Ⅱ）a=8時，g（x）=8lnx+x²-10x，
∴g′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10，
由y=g（x）在其圖象上一點P（m，f（m））處的切線方程，
得h（x）=（2m+$\frac{8}{m}$-10）（x-m）-8lnm-m²+10m，
∴h′（x）=2m+$\frac{8}{m}$-10，
設(shè)f（x）=g（x）-h（x），則f（m）=0，
f′（x）=g′（x）-h′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10-2m-$\frac{8}{m}$+10=$\frac{2}{x}$（x-m）（x-$\frac{4}{m}$），
當0＜m＜2時，f（x）在（m，$\frac{4}{m}$）上遞減，
∴x∈（m，$\frac{4}{m}$）時，f（x）＜f（m）=0，此時$\frac{f（x）}{x-m}$＜0，
m＞2時，f（x）在（$\frac{4}{m}$，m）上遞減；
∴x∈（$\frac{4}{m}$，m）時，f（x）＞f（m）=0，此時$\frac{f（x）}{x-m}$＜0，
∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“界點”，
m=2時，f′（x）=$\frac{2}{x}$（x-2）²，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
x＞m時，f（x）＞f（m）=0，x＜m時，f（x）＜f（m）=0，
即點P（m，f（m））為“界點”，
故函數(shù)y=g（x）存在“界點”，且2是“界點”的橫坐標，
∴g（2）=8ln2+4-20=-16+8ln2，
∴“界點”的坐標位（2，-16+8ln2）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，考查類界點的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運用．