Question

若方程x²+（sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的兩實(shí)根為α、β，數(shù)列1，+，（+）²，…的所有項(xiàng)的和為2-，試求θ的值．

Answer 1

解：∵方程x²+（sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的兩實(shí)根為α、β，
∴△=（sin2θ）²-4×2cosθ≥0 …（1）
且α+β=-sin2θ，αβ=2cosθ
由題意，得|+|＜1，
∴||=||=|sinθ|＜1，即|sinθ|＜
∵0＜θ＜π，∴0＜sinθ＜…（2）
∵等比數(shù)列1，+，（+）²，…的所有項(xiàng)的和為S==2-，
∴=2-，解之得sinθ=，符合（2）
∴θ=或，經(jīng)檢驗(yàn)θ=不滿足（1），故只有θ=符合題意
綜上所述，θ的值為
分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β=-sin2θ，αβ=2cosθ．由無窮等比數(shù)列的求和公式，得=2-，解得sinθ=，所以θ=或，而θ=時(shí)原方程無實(shí)數(shù)根，故只有θ=符合題意，得到本題的答案．
點(diǎn)評(píng)：本題以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式為載體，考查了三角函數(shù)的化簡求值和無窮遞縮等比數(shù)列求和公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．