關(guān)于x的方程x2+xsin2θ-sinθcotθ=0的兩根為α，β，且0＜θ＜2π，若數(shù)列1，
1
α
+
1
β
，(
1
α
+
1
β
)2，…，(
1
α
+
1
β
)n的前100項(xiàng)和為0，求θ的值．
分析：由于數(shù)列1，
1
α
+
1
β
，(
1
α
+
1
β
)2，…，(
1
α
+
1
β
)n的前100項(xiàng)和為0，可知
α+β
αβ
=-1，再利用方程x2+xsin2θ-sinθcotθ=0的兩根為α，β，可得關(guān)于θ的方程，從而可解．
解答：解：由題意，S100=
(
1
α
+
1
β
)100-1
(
1
α
+
1
β
)-1
=0⇒
(
1
α
+
1
β
)100=1
1
α
+
1
β
≠1
⇒
1
α
+
1
β
=-1⇒
α+β
αβ
=-1，
∵α+β=-sin2θ，αβ=-sinθcotθ=-cosθ，∴2sinθ=-1⇒sinθ=-
1
2
，
∵0＜θ＜2π，∴θ=
7π
6
或
11π
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查等比數(shù)列的求和，考查韋達(dá)定理，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的方程，從而可解．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、關(guān)于x的方程x2-|x|-k2=0，下列判斷：
①存在實(shí)數(shù)k，使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；②存在實(shí)數(shù)k，使得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
③存在實(shí)數(shù)k，使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．　其中正確的有
①②
（填相應(yīng)的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

10、寫出下列命題的否命題及命題的否定形式，并判斷其真假：
（1）若m＞0，則關(guān)于x的方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根；
（2）若x、y都是奇數(shù)，則x+y是奇數(shù)；
（3）若abc=0，則a、b、c中至少有一個(gè)為0；
（4）若x2-x-2≠0，則x≠-1，且x≠2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0有兩個(gè)實(shí)根α，β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=
2x-mx2+1

（1）當(dāng)α=-1，β=1時(shí)，判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)命題為“若k＞0，則關(guān)于x的方程x2-x-k=0有實(shí)數(shù)根”．寫出該命題的否定、逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）若關(guān)于x的方程x2-x+a=0，x2-x+b=0（a≠b）的四個(gè)實(shí)數(shù)根組成以
1
4
為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則a+b的值為（　　）

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