Question

15．在一次詩詞知識競賽調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其中答對詩詞名句與否的人數(shù)如圖所示．
（Ⅰ）完成下面的2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關(guān)，請說明你的理由；（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

	正確	錯誤	合計
20～30
30～40
合計

（Ⅱ）若計劃在這次場外調(diào)查中按年齡段分層抽樣選取6名選手，求3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出2×2列聯(lián)表，再求出K²=3＞2.706，從而有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關(guān)．
（Ⅱ）設3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，20～30歲之間的人數(shù)是2人，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由已知得2×2列聯(lián)表為：

	正確	錯誤	合計
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合計	20	100	120

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
=$\frac{120（70×10-30×10）}{20×100×40×80}$3＞2.706，
∴有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關(guān)．
（Ⅱ）設3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，
20～30歲之間的人數(shù)是2人，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

點評 本題考查獨立檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學數(shù)列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．