Question

為保護(hù)水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進(jìn)行宣傳活動(dòng)，每名志愿者都可以從三家公園中隨機(jī)選擇一家，且每人的選擇相互獨(dú)立．
（1）求4人恰好選擇了同一家公園的概率；
（2）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為X，試求X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）本題是一個(gè)等可能事件的概率，每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有3⁴種等可能的情況．滿足條件的事件A所包含的等可能事件的個(gè)數(shù)為3，寫出結(jié)果．
（II）選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為X，則X可取的值為0，1，2，3，4，4人中選擇甲公園的人數(shù)X可看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件C發(fā)生的次數(shù)，得到隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
設(shè)“4人恰好選擇了同一家公園”為事件A．
每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有3⁴種等可能的情況．
事件A所包含的等可能事件的個(gè)數(shù)為3，
∴P(A)=

3

34

=

1

27

．
即4人恰好選擇了同一家公園的概率為

1

27

．

（Ⅱ）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則P(C)=

1

3

．
4人中選擇甲公園的人數(shù)X可看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件C發(fā)生的次數(shù)，
∴隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．
X可取的值為0，1，2，3，4．
P(X=i)=

C

i 4

(

1

3

)i(

2

3

)4-i，i=0，1，2，3，4．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴X的期望為E(X)=4×

1

3

=

4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)分布，每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的，各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)只要兩種結(jié)果，要么發(fā)生要么不發(fā)生，隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中實(shí)件發(fā)生的次數(shù)．