【題目】如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③對(duì)于棱上任意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面；

④存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫(xiě)所有正確答案的序號(hào)）

【答案】①②④

【解析】

對(duì)①,將四棱錐分成兩部分與分析即可

對(duì)②,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定,注意用到再利用線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定即可.

對(duì)③,舉出反例即可.

對(duì)④,四邊形的周長(zhǎng),展開(kāi)長(zhǎng)方體分析最值即可.

對(duì)①,,又三棱錐底面

不變,且因?yàn)?/span>∥底面,故到底面的距離即上的高長(zhǎng)度不變.故三棱錐體積一定,即四棱錐的體積恒為定值,①正確.

對(duì)②,因?yàn)?/span>,且長(zhǎng)方體,故四邊形為正方形,

故.要平面則只需,又,故只需面.

又平面,故只需即可.因?yàn)?/span>,故當(dāng) 時(shí)存在點(diǎn),使得,即平面.故②正確.

對(duì)③,當(dāng)在時(shí)總有與平面相交,故③錯(cuò)誤.

對(duì)④,四邊形的周長(zhǎng),分析即可.

將矩形沿著展開(kāi)使得在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),此時(shí)的位置設(shè)為,則線(xiàn)段與的交點(diǎn)即為使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)的唯一點(diǎn).故④正確.

故答案為：①②④

練習(xí)冊(cè)系列答案
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不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同

時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：①是的一個(gè)排列；②數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱(chēng)數(shù)列具有“變換性質(zhì)”．

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（III）對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列：1，2，3，…，，某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，

數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當(dāng)”時(shí)，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”．

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