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【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過定點的直線交橢圓于兩點，連接并延長交于，求證：.

【答案】（1）（2）證明過程詳見解析

【解析】

（1）設出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標準方程；

（2）依題意可知直線斜率存在，設方程為，代入整理得

， 與橢圓有兩個交點，.

設，，直線，的斜率分別為，，利用韋達定理證明

即可.

解：（1）依題意可設圓方程為，

圓與直線相切，.，

由解得，

橢圓的方程為.

（2）依題意可知直線斜率存在，設方程為，代入整理得

，

與橢圓有兩個交點，，即.

設，，直線，的斜率分別為，

則，.

，

即.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數為常數，）的圖象關于直線對稱，則函數的圖象（　�。�

A. 關于直線對稱B. 關于直線對稱

C. 關于點對稱D. 關于點對稱

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，，，為側棱上一點.

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在側棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設，某市組織開展“學習強國”知識測試，每人測試文化、經濟兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統計他們文化、經濟兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數分布表和經濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下：

經濟項目測試成績頻率分布直方圖

分數區(qū)間

頻數

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分數在區(qū)間內為一般，分數在區(qū)間內為良好，分數在區(qū)間內為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經濟項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有以上的把握認為“經濟項目等級為優(yōu)秀”與性別有關？

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數

女生數

合計

（2）用這100人的樣本估計總體，假設這兩個項目的測試成績相互獨立.

（i）從該市測試人員中隨機抽取1人，估計其“文化項目等級高于經濟項目等級”的概率.

（ii）對該市文化項目、經濟項目的學習成績進行評價.

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若圓上一點A（2，3）關于直線x+2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長為2則圓的方程是_____．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為橢圓上一點，為橢圓長軸上一點，為坐標原點，有下列結論：①存在點，，使得為等邊三角形；②不存在點，，使得為等邊三角形；③存在點，，使得；④不存在點，，使得.其中，所有正確結論的序號是( )

A.①④B.①③C.②④D.②③

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】、兩個班共有65名學生，為調查他們的引體向上鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生引體向上的測試數據（單位：個），用莖葉圖記錄如下：

(1)試估計班的學生人數；

(2)從班和班抽出的學生中，各隨機選取一人，班選出的人記為甲，班選出的人記為乙，假設所有學生的測試相對獨立，比較甲、乙兩人的測試數據得到隨機變量.規(guī)定：當甲的測試數據比乙的測試數據低時，記；當甲的測試數據與乙的測試數據相等時，記；當甲的測試數據比乙的測試數據高時，記.求隨機變量的分布列及數學期望.

(3)再從、兩個班中各隨機抽取一名學生，他們引體向上的測試數據分別是10，8（單位：個），這2個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記，表格中數據的平均數記為，試判斷和的大小.（結論不要求證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方體中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點，使得平面；

③對于棱上任意一點，在棱上均有相應的點，使得平面；

④存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義集合與集合之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合，記作 且．已知集合．

（Ⅰ）若集合，寫出集合的所有元素；

（Ⅱ）從集合選出10個元素由小到大構成等差數列，其中公差的最大值和最小值分別是多少？公差為和的等差數列各有多少個？

（Ⅲ）設集合,且集合中含有10個元素，證明：集合中必有10個元素組成等差數列．

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