Question

7．平面上的向量$\overrightarrow{MA}$與$\overrightarrow{MB}$滿足|$\overrightarrow{MA}$|²+|$\overrightarrow{MB}$|=4，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，若點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$，則|$\overrightarrow{MC}$|的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{4}$

Answer 1

分析 由已知不妨設(shè)A（x，0），B（0，y）（x，y≥0）．可得x²+y=4.$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$=$（\frac{1}{3}x，\frac{2}{3}y）$，可得|$\overrightarrow{MC}$|=$\sqrt{\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{4}{9}{y}^{2}}$=$\frac{1}{3}\sqrt{4（y-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{63}{16}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵平面上的向量$\overrightarrow{MA}$與$\overrightarrow{MB}$滿足|MA|²+|MB|=4，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
不妨設(shè)A（x，0），B（0，y）（x，y≥0）．則x²+y=4．
∵$\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{3}（x，0）$+$\frac{2}{3}（0，y）$=$（\frac{1}{3}x，\frac{2}{3}y）$，
∴|$\overrightarrow{MC}$|=$\sqrt{\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{4}{9}{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{9}{y}^{2}+\frac{1}{9}（4-y）}$=$\frac{1}{3}\sqrt{4（y-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{63}{16}}$$≥\frac{\sqrt{7}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)y=$\frac{1}{8}$，x=$\frac{\sqrt{62}}{4}$時(shí)取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．