Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{1-{a}^{2}}$=1，點P到兩定點A（-1，0）、B（1，0）的距離之比為$\sqrt{2}$，點B到直線PA的距離為1．
（1）求直線PB的方程．
（2）求證：直線PB與橢圓C相切．

Answer 1

分析 （1）確定∠BAC=30°，利用正弦定理得sin∠PBA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即直線PB的傾斜角為45°或135°，可求直線PB的方程；
（2）將y=x-1代入橢圓方程，求得方程的根，即可證明：直線PB與橢圓C相切；

解答 （1）解：過B作PA的垂線，垂足為C，
|AB|=2，|BC|=1知，∠BAC=30°，
在△PAB中，由正弦定理得，$\frac{|PA|}{sin∠PBA}$=$\frac{|PB|}{sin∠PAB}$，
∵$\frac{|PA|}{|PB|}$=$\sqrt{2}$，
∴sin∠PBA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直線PB的傾斜角為45°或135°，
∴直線PB的方程是y=x-1或y=-x+1．
（2）證明：若PB方程為y=x-1，將y=x-1代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{1-{a}^{2}}$=1，
整理得，x²-2a²x+a⁴=0，解得，x₁=x₂=a²，
所以直線y=x-1與橢圓C相切，
同理直線y=-x+1與橢圓C也相切．

點評 本題考查直線方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．