Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，d＞0，且它的第2項，第5項，第14項成等比，分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項，第3項，第4項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的公式，建立方程關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，利用等比數(shù)列的求和公式即可求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

解答： 解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，第2項，第5項，第14項成等比，
則a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，a₅²=a₂a₁₄，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
整理得d²=2d，解得d=0，（舍去）或d=2，
則a_n=2n-1，
b₂=3，b₃=9，則等比數(shù)列{b_n}的公比q=3，
則b_n=3^n-1；
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n成立，
∴當(dāng)n≥2，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n-1，
兩式相減得

cn

bn

=a_n-a_n-1=2，
即c_n=2b_n=2•3^n-1，
當(dāng)n=1，

c1

a1

=a1，解得c₁=1不滿足c_n，
則c_n=

1， n=1 2•3n-1， n≥2

則c₁+c₂+…+c_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）=3ⁿ-2•3^n-1．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)公式求出對應(yīng)的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．