Question

16．函數(shù)$f（x）=x+2cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值為$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可得極值點(diǎn)，求出單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=x+2cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-2sinx，
由1-2sinx=0，解得x=$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{6}$]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）在x=$\frac{π}{6}$處取得極大值，且為最大值$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．