已知橢圓，其左右焦點分別為F1、F2，A、B分別為橢圓的上、下頂點，如果四邊形AF1BF2為邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點為M，N，過點M作x軸的垂線l，在l上任取一點P，連接PN交橢圓C于Q，探究是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

【答案】分析：（1）四邊形AF1BF2是邊長為2的正方形，求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線PN：y=k（x-a），則P點坐標可知，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得a•xQ的表達式，進而求得xQ的表達式，代入直線方程求得yQ的表達式，表示出，結(jié)果為定值．
解答：解：（Ⅰ）∵四邊形AF1BF2是邊長為2的正方形，
∴
∴橢圓的方程為
（Ⅱ）設(shè)直線PN：y=k（x-a），
∴P（-a，-2ka）
∵
∴
∴定值．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，向量的基本計算，直線與橢圓的關(guān)系等．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其左右焦點分別為F1、F2，A、B分別為橢圓的上、下頂點，如果四邊形AF1BF2為邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點為M，N，過點M作x軸的垂線l，在l上任取一點P，連接PN交橢圓C于Q，探究
OP
•
OQ
是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是橢圓C：
x2
8
+
y2
4
=1上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左右焦點，O是坐標原點，則
|
PF1
|-|
PF2
|
|
PO
|
的取值范圍是
[-
2
，
2
]
[-
2
，
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓D：x2+
y2
b2
=1(0＜b＜1)的左焦點為F，其左右頂點為A、C，橢圓與y軸正半軸的交點為B，△FBC的外接圓的圓心P（m，n）在直線x+y=0上．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x=-
2
，N是橢圓D上的動點，NM⊥l，垂足為M，是否存在點N，使得△FMN為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•朝陽區(qū)二模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．在橢圓M中有一內(nèi)接三角形ABC，其頂點C的坐標(
3
，1)，AB所在直線的斜率為
3
3
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當△ABC的面積最大時，求直線AB的方程．

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