(2010•朝陽(yáng)區(qū)二模)已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).在橢圓M中有一內(nèi)接三角形ABC,其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(
3
,1)
,AB所在直線的斜率為
3
3

(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),求直線AB的方程.
分析:(Ⅰ)由橢圓的定義知2a=
(-2-
3
)
2
+1
+
(2-
3
)
2
+1
.解出a的值,再由b2=a2-c2解出b的值即可得出橢圓的方程;
(II)由題意可直線AB的方程為y=
3
3
x+m
,再由弦長(zhǎng)公式用引入的參數(shù)m表示出弦長(zhǎng)AB,再用m表示出點(diǎn)C到直線AB的距離,由三角形的面積公式將三角形的面積表示成m的函數(shù),由基本不等式判斷出面積最大時(shí)的m的值,即可求得直線AB的方程
解答:解:(Ⅰ)由橢圓的定義知2a=
(-2-
3
)
2
+1
+
(2-
3
)
2
+1

解得 a2=6,所以b2=a2-c2=2.
所以橢圓M的方程為
x2
6
+
y2
2
=1
.…(4分)
(Ⅱ)由題意設(shè)直線AB的方程為y=
3
3
x+m
,
x2
6
+
y2
2
=1
y=
3
3
x+m
2x2+2
3
mx+3m2-6=0

因?yàn)橹本AB與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)A,B,且點(diǎn)C不在直線AB上,
所以
△=12m2-24(m2-2)>0
1≠
3
3
3
+m
解得-2<m<2,且m≠0.
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
x1+x2=-
3
m
,x1x2=
3m2-6
2
,y1=
3
3
x1+m
,y2=
3
3
x2+m

所以|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
4
3
[(x1+x2)2-4x1x2]
=2
4-m2

點(diǎn)C(
3
,1)
到直線y=
3
3
x+m
的距離d=
3
|m|
2

于是△ABC的面積S=
1
2
|AB|•d=
3
2
|m|•
4-m2
3
2
m2+(4-m2)
2
=
3
,
當(dāng)且僅當(dāng)|m|=
4-m2
,即m=±
2
時(shí)“=”成立.
所以m=±
2
時(shí)△ABC的面積最大,此時(shí)直線AB的方程為y=
3
3
2

即為x-
3
6
=0
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,考查了弦長(zhǎng)的求法,三角形的面積公式,基本不等式求最值,橢圓的定義,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與技巧是解題的關(guān)鍵,本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想,轉(zhuǎn)化的思想,對(duì)公式的記憶與靈活運(yùn)用能力,是綜合性較強(qiáng)的題目
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(2010•朝陽(yáng)區(qū)二模)已知向量
a
=(1,2),
b
=(-3,2),如果k
a
+b
b
b
垂直,那么實(shí)數(shù)k的值為
-13
-13

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1
2
的圖象大致是( 。

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9
9

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π
6
).
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(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,
3
]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x的值.

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