Question

定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：由不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，得到函數(shù)h（x）=xf（x）在x＞0時是增函數(shù)，再由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得到h（x）=xf（x）為偶函數(shù)，結合f（0）=f（3）=f（-3）=0，作出兩個函數(shù)y₁=xf（x）與y₂=-lg|x+1|的大致圖象，數(shù)形結合可得答案．

解答：解：定義在R的奇函數(shù)f（x）滿足：
f（0）=0=f（3）=f（-3），
f（-x）=-f（x），
x＞0時，f（x）＞-xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，
∴[xf（x）]'＞0，h（x）=xf（x）在x＞0時是增函數(shù)，
又h（-x）=-xf（-x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函數(shù)，
∴x＜0時，h（x）是減函數(shù)，結合函數(shù)的定義域為R，且f（0）=f（3）=f（-3）=0，
可得函數(shù)y₁=xf（x）與y₂=-lg|x+1|的大致圖象如圖，

∴由圖象可知，函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為3個．
故選：B．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的關系，考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷，訓練了數(shù)形結合的解題思想方法，是中低檔題．