Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為1，對任意的n∈N*，定義b_n=a_n+1-a_n，
(1)若b_n=n+1，求a₄；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0），
①當(dāng)a=1，b=2時，求數(shù)列{b_n}的前3n項和；
②當(dāng)a=1時，求證：數(shù)列{a_n}中任意一項的值均不會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次．

Answer 1

(1)解：，
；
(2)①解：因為，
所以，對任意的n∈N*有，
即數(shù)列{b_n}各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6．
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項分別為1，2，2，1，，且這六個數(shù)的和為7。
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則
當(dāng)n=2k(k∈N*)時，；
當(dāng)n=2k+1(k∈N*)時，

，
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，；
②證明：由①知：對任意的n∈N*有b_n+6=b₆，
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項分別為1，b，b，1，，且這六個數(shù)的和為，
設(shè)(其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以
，
所以，數(shù)列{a_6n+i}為以為公差的等差數(shù)列．
因為b＞0時，，b＜0時，，
所以{a_6n+i}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次，
所以數(shù)列{a_n}中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，
即任意一項的值不會在此數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次。