已知f(x)=x3+x(x∈R)，
（1）判斷f(x)在(-∞，+∞)上的單調(diào)性，并證明；
（2）求證：滿足f(x)=a（a為常數(shù)）的實(shí)數(shù)x至多只有一個(gè)。
（1）解：f(x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x1＜x2，即x1-x2＜0，
∴f(x1)-f(x2)=(x13+x1)-(x23+x2)=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)=(x1-x2)[(x1+)2+x22+1]＜0，
∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
因此f(x)=x3+x在R上是增函數(shù)。
（2）證明：假設(shè)x1＜x2且f(x1)=f(x2)=a，由f(x)在R上遞增，
∴f(x1)＜f(x2)，與f(x1)=f(x2)矛盾，
∴原命題正確。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=x3+
3x
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=x3+
1
2
mx2-2m2x-4（m為常數(shù)，且m＞0）有極大值-
5
2
，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）的斜率為2的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1與x=-
23
時(shí)都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）求函數(shù)y=
x+3
x2+3
的導(dǎo)數(shù)
（2）已知f(x)=x3+4cosx-sin
π
2
，求f'（x）及f′(
π
2
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=-x3+ax2-4
 (a∈R)
，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）若?x0∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a取值范圍．

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